Αντικείμενο μελέτης: Ειδική άποψη της επιφάνειας που ξεδιπλώνεται - η λωρίδα Möbius Σκοπός της μελέτης: Να μελετηθούν οι διάφορες ιδιότητες της λωρίδας Möbius. Βρείτε πού χρησιμοποιούνται οι ιδιότητές του. Υπόθεση: Όλες οι ιδιότητες της λωρίδας Möbius δεν έχουν μελετηθεί. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων, πολλά φαινόμενα στη ζωή μας μπορούν να εξηγηθούν.
Στην εποχή μας, είναι σημαντικό να μελετήσουμε διάφορες ιδιότητες και μη τυποποιημένες εφαρμογές. Εξέτασα την εφαρμογή της λωρίδας Möbius στην επιστήμη, την τεχνολογία και τη μελέτη των ιδιοτήτων του σύμπαντος. Ήδη τώρα, η ταινία Möbius βρίσκει διάφορες εφαρμογές στην καθημερινή ζωή. Έχω κάνει δουλειά για να αποδείξω τις ιδιότητες της λωρίδας Möbius. Οι ιδιότητες της ταινίας μελετήθηκαν χρησιμοποιώντας επεξηγηματικά παραδείγματα.
MÖBIUS August Ferdinand (), Γερμανός μαθηματικός. Εργάζεται στη γεωμετρία. Διαπίστωσε την ύπαρξη μονόπλευρων επιφανειών (λωρίδα Möbius).
Η απλούστερη μονόπλευρη επιφάνεια που θεωρεί ο A. Möbius. προκύπτει κολλώντας δύο απέναντι πλευρές ΑΒ και Α «Β» του ορθογωνίου ΑΒΒ «Α» έτσι ώστε τα σημεία Α και Β να ευθυγραμμίζονται αντίστοιχα με τα σημεία Β «και Α».
Μια λωρίδα Mobius είναι μια λωρίδα χαρτιού που περιστρέφεται στο ένα άκρο μισή στροφή (δηλαδή 180 μοίρες) και κολλάται στο άλλο άκρο της. Η επιφάνεια της λωρίδας Möbius έχει μόνο μία πλευρά. Ακολουθούν εκπληκτικές μεταμορφώσεις της κασέτας. Αν το κόψετε κατά μήκος, ακριβώς στη μέση, θα πάρετε όχι δύο, αλλά μία ταινία. Αλλά αν κόψετε την ταινία σε απόσταση 1/3 του πλάτους της από την άκρη, τότε παίρνετε δύο δαχτυλίδια - αλλά! - ένα μεγάλο και ένα μικρό συνδεδεμένο σε αυτό. Εάν κόψετε επίσης ένα μικρό δαχτυλίδι κατά μήκος της μέσης, τότε θα έχετε μια πολύ "σύνθετη" συνένωση δύο δακτυλίων - του ίδιου μεγέθους, αλλά διαφορετικού πλάτους.
1. Η μονόπλευρη είναι μια τοπολογική ιδιότητα της λωρίδας Möbius, η οποία είναι χαρακτηριστική μόνο γι' αυτήν. 2. Συνέχεια - από τοπολογική άποψη, ένας κύκλος δεν διακρίνεται από ένα τετράγωνο, επειδή είναι εύκολο να μετατραπούν το ένα στο άλλο χωρίς να σπάσει η συνέχεια. 3. Ο προσανατολισμός είναι μια ιδιότητα που απουσιάζει από τη λωρίδα Möbius. 4. Συνδεσιμότητα - για να χωρίσουμε το τετράγωνο σε δύο μέρη, χρειαζόμαστε μόνο μία τομή. Αλλά για να κόψετε το δαχτυλίδι στη μέση, θα χρειαστούν δύο κοψίματα. Όσον αφορά τη λωρίδα Möbius, ο αριθμός των δεσμών ποικίλλει ανάλογα με την αλλαγή στον αριθμό των στροφών της ταινίας
Η λωρίδα Möbius χρησιμοποιείται σε πολλές εφευρέσεις. Πριν από 18 χρόνια, η κορδέλα βρήκε μια εντελώς διαφορετική χρήση· άρχισε να παίζει το ρόλο του ελατηρίου, αλλά τα ελατήρια είναι ιδιαίτερα. Όπως γνωρίζετε, ένα ελατήριο με οπλισμό λειτουργεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η λωρίδα Mobius, έχοντας διορθώσει όλους τους νόμους κατεύθυνσης, δεν αλλάζει τη λειτουργία, όπως μηχανισμοί με δύο σταθερές θέσεις.
Η λωρίδα Möbius χρησίμευσε ως έμπνευση για γλυπτά και για γραφικές τέχνες. Ο Escher ήταν ένας από τους καλλιτέχνες που του άρεσε ιδιαίτερα και αφιέρωσε αρκετές από τις λιθογραφίες του σε αυτό το μαθηματικό αντικείμενο. Μια από τις διάσημες λωρίδες Möbius II δείχνει τα μυρμήγκια να σέρνονται στην επιφάνεια της λωρίδας Möbius.
Η ταινία Möbius είναι ένα ξεκάθαρο παράδειγμα του γεγονότος ότι το τέλος δεν είναι το τέλος οποιασδήποτε επιχείρησης, αλλά μόνο μια νέα αρχή από το γεγονός ότι στην πρώτη περίπτωση σήμαινε το τέλος! Λέει σε όσους θέλουν να ακούσουν ότι όσο δύσκολο κι αν είναι, πρέπει ακόμα να επιβιώσεις, Απελπισία από καρδιάς να καεί Και να ξεφύγεις από μια άλλη εγκόσμια ταλαιπωρία - Για σθένος, πίνοντας μια γουλιά από τη φιάλη, Πάρε ναι και αλλάξτε το μείον σε ένα συν, έτσι ώστε ο παλμός να χτυπήσει ξανά με πλήρη ζωή.
Έχω κάνει δουλειά εξετάζοντας ορισμένες ιδιότητες της λωρίδας Möbius. Για την απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν οι ιδιότητες των αναπτυσσόμενων επιφανειών. Οι ιδιότητες της ταινίας μελετήθηκαν χρησιμοποιώντας επεξηγηματικά παραδείγματα. Ορισμένες ιδιότητες της λωρίδας Möbius μπορεί να είναι χρήσιμες για όσους αρχίζουν να μελετούν την τοπολογία, καθώς είναι πιο απλές και κατανοητές.
Atanasyan, L. S., Gurevich, G. B. Geometry. - Ch M: Enlightenment, Kvant: περιοδικό δημοφιλούς επιστήμης, 7; 1977, 7. Smirnov, S. G. Library "Mathematical Education". - Τεύχος Μ .: MTsNMO, Δυνατότητες του δικτύου INTERNET.
Νομίζω ότι αυτό το θέμα είναι πολύ συναρπαστικό και ουσιαστικό, αναπτύσσοντας ένα γνωστικό ενδιαφέρον για τα μαθήματα των μαθηματικών. Ελπίζω πραγματικά ότι το έργο μου θα ωφελήσει τόσο τους μαθητές όσο και τους καθηγητές. Έκανα μια σειρά πειραμάτων με την ταινία, μελετώντας τις ιδιότητές της, και επίσης ανακάλυψα πού εφαρμόζονται αυτές οι ιδιότητες. Στην εποχή μας, είναι σημαντικό να μελετήσουμε τις διάφορες ιδιότητες των αντικειμένων και τις μη τυπικές εφαρμογές τους.
Ήδη, η ταινία Möbius βρίσκει διάφορες εφαρμογές στην καθημερινή ζωή: λειαντικοί ιμάντες για εργαλεία ακονίσματος, ιμάντες μελανιού για εκτυπωτές, ιμάντες κίνησης, ταινίες και τα λοιπά. Έχω κάνει δουλειά για να αποδείξω ορισμένες ιδιότητες της λωρίδας Möbius. Για την απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν οι ιδιότητες των αναπτυσσόμενων επιφανειών. Οι ιδιότητες της ταινίας μελετήθηκαν χρησιμοποιώντας επεξηγηματικά παραδείγματα.
Υπάρχει μια υπόθεση ότι το Σύμπαν μας είναι πολύ πιθανό να είναι κλειστό στο ίδιο ταινία-κασέτασύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας - όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα, τόσο μεγαλύτερη είναι η καμπυλότητα του χώρου. Επιπλέον, αυτή η θεωρία είναι απολύτως συνεπής με τη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν και την υπόθεση του ότι ένα διαστημόπλοιο που πετάει ευθεία όλη την ώρα μπορεί να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης του, κάτι που επιβεβαιώνει την απεριόριστη και πεπεραστικότητα του Σύμπαντος.
Υπάρχει μια υπόθεση ότι η ίδια η έλικα του DNA είναι επίσης ένα θραύσμα κορδέλες Möbius.
Επιπλέον, μια τέτοια δομή εξηγεί αρκετά λογικά την αιτία της έναρξης του βιολογικού θανάτου - η σπείρα κλείνει στον εαυτό της και συμβαίνει αυτοκαταστροφή. Επίσης, σύμφωνα με τους φυσικούς, όλοι οι οπτικοί νόμοι βασίζονται στις ιδιότητες της λωρίδας Möbius, ειδικότερα, η αντανάκλαση σε έναν καθρέφτη είναι ένα είδος μεταφοράς χρόνου. Παρά το γεγονός ότι ο Möbius έκανε την εκπληκτική του ανακάλυψη εδώ και πολύ καιρό, είναι πολύ δημοφιλής σήμερα:
- Για τους μαθηματικούς, η περαιτέρω έρευνα βρίσκεται σε εξέλιξη.
- για μαθητές - είναι πολύ ενδιαφέρον να πειραματιστείτε με τη λωρίδα Möbius.
- δάσκαλοι - υπάρχει ένας άλλος τρόπος να ενδιαφερθούν οι μαθητές για τα μαθηματικά.
στην τεχνολογία - όλο και περισσότεροι νέοι τρόποι χρήσης της λωρίδας Möbius ανακαλύπτονται
Η λωρίδα Möbius έχει πολυάριθμες εφαρμογές στην επιστήμη, την τεχνολογία και τη μελέτη των ιδιοτήτων του σύμπαντος. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η ίδια η έλικα του DNA είναι ένα θραύσμα της λωρίδας Möbius, και αυτός είναι ο μόνος λόγος για τον οποίο ο γενετικός κώδικας είναι τόσο δύσκολο να αποκρυπτογραφηθεί και να γίνει αντιληπτός.
Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ρυθμοί, χάρη στους οποίους αναπτύσσουμε την ενέργειά μας, την αρχή της καρδιάς μας και υπάρχουν ρυθμοί που διασφαλίζουν την αποκάλυψη του εγκεφάλου μας, των πληροφοριακών μας δυνατοτήτων. Για να αναπτυχθούν μέσα μας εξίσου και αρμονικά αυτές οι αντίθετες αρχές, οι ρυθμοί του ανεμοστρόβιλου Möbius τοποθετούνται ανάμεσα στην «ενέργεια» - ρυθμούς και «informo» - ρυθμούς. Χάρη σε αυτά, έχουμε την ευκαιρία να κινούμαστε συνεχώς και ατελείωτα από την καρδιά στον εγκέφαλο, από την πληροφορία στην ενέργεια, διατηρώντας παράλληλα μια ισορροπία μεταξύ της πλανητικής και της ανθρώπινης πλευράς της ζωής. Οι ρυθμοί της δίνης Mobius μας επιτρέπουν να κάνουμε ένα είδος «ανταλλαγής» ενέργειας για πληροφορίες και το αντίστροφο.
1. Υπάρχουν επίσης υλικές ενσωματώσεις μιας απλής λωρίδας Möbius. Το νεόκτιστο Ολυμπιακό Πελόδρομο στο Λονδίνο έχει περιγράμματα που μπορούν να ονομαστούν παραλλαγή του θέματος της ταινίας Mobius. Ένα απίστευτο έργο βιβλιοθήκης στην πόλη Αστάνα (Καζακστάν) μοιάζει με μια λωρίδα Mobius..
2. Και το 2003, Ιάπωνες επιστήμονες μπόρεσαν να αποκτήσουν μονόπλευρους κρυστάλλους με τη μορφή λωρίδας Mobius στο εργαστήριο.
3. Υπάρχουν τεχνικές εφαρμογές της ταινίας Möbius. Η ταινία μεταφορικής ταινίας είναι κατασκευασμένη σε μορφή ιμάντα Möbius, η οποία της επιτρέπει να λειτουργεί περισσότερο, επειδή ολόκληρη η επιφάνεια της ταινίας φθείρεται ομοιόμορφα.
4. Τα συστήματα συνεχούς εγγραφής κασετών χρησιμοποιούν επίσης ταινίες Möbius (για να διπλασιάσουν το χρόνο εγγραφής).
5. Σε πολλούς εκτυπωτές dot matrix, η μελανοταινία έχει επίσης τη μορφή λωρίδας Möbius για να αυξήσει τον πόρο της.
6. Μια συσκευή που ονομάζεται αντίσταση Möbius είναι ένα νέο ηλεκτρονικό στοιχείο που δεν έχει τη δική του αυτεπαγωγή.
7. Χάρη στη λωρίδα Möbius, εμφανίστηκε ο «Μηχανισμός Ελέγχου», για τον οποίο ελήφθη το Πιστοποιητικό Συγγραφέα Αρ. 1453110 (Προτεραιότητα 26.07.1985, συγγραφέας Smirnov V.B.). Ο μηχανισμός ελέγχου μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε παιδικά ρολόι παιχνίδια, στη σχεδίαση του σταθεροποιητή του τιμονιού, στο κλείστρο με σχισμή μιας φωτογραφικής μηχανής φωτογραφιών ή ταινίας.
8. Η λωρίδα Möbius αποκαλείται μερικές φορές ο πρόγονος του συμβόλου του απείρου, επειδή όντας στην επιφάνεια της λωρίδας Möbius, θα μπορούσε κανείς να περπατήσει πάνω της για πάντα. Αυτό δεν είναι αλήθεια, καθώς το σύμβολο χρησιμοποιήθηκε για να αναπαραστήσει το άπειρο για δύο αιώνες πριν από την ανακάλυψη της λωρίδας Möbius.
9. Οι θεωρητικοί φυσικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι το Σύμπαν μας είναι αρκετά πιθανό, κλειστό σε μια λωρίδα Möbius. Σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας, όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα, τόσο μεγαλύτερη είναι η καμπυλότητα του χώρου.
- Το διεθνές σύμβολο για την ανακύκλωση είναι η λωρίδα Möbius.
Η λωρίδα Möbius χρησίμευσε ως έμπνευση για γλυπτά και για γραφικές τέχνες. Ο Escher ήταν ένας από τους καλλιτέχνες που του άρεσε ιδιαίτερα και αφιέρωσε αρκετές από τις λιθογραφίες του σε αυτό το μαθηματικό αντικείμενο. Ένα από τα διάσημα, η λωρίδα Möbius, δείχνει τα μυρμήγκια να σέρνονται στην επιφάνεια της λωρίδας Möbius.
Στην είσοδο του Μουσείου Ιστορίας και Τεχνολογίας στην Ουάσιγκτον, μια ατσάλινη ταινία μισής στροφής περιστρέφεται αργά σε ένα βάθρο. Το 1967, όταν πραγματοποιήθηκε ένα διεθνές μαθηματικό συνέδριο στη Βραζιλία, οι διοργανωτές του εξέδωσαν ένα αναμνηστικό γραμματόσημο σε ονομαστικές αξίες πέντε centavos. Είχε μια λωρίδα Möbius πάνω του. Τόσο το μνημείο, ύψους άνω των δύο μέτρων, όσο και η μικροσκοπική σφραγίδα είναι αυθεντικά μνημεία του Γερμανού μαθηματικού και αστρονόμου August Ferdinand Möbius, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Λειψίας.
Ως αποτέλεσμα αυτού του έργου, έμαθαπολλές νέες πληροφορίες για τον διάσημο επιστήμονα Möbius και τις εφευρέσεις του. Η λωρίδα Möbius είναι η πρώτη μονόπλευρη επιφάνεια που ανακαλύφθηκε από επιστήμονα. Αργότερα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια σειρά από μονόπλευρες επιφάνειες. Αλλά αυτό, το πρώτο, που έθεσε τα θεμέλια για μια ολόκληρη κατεύθυνση στη γεωμετρία, εξακολουθεί να προσελκύει την προσοχή επιστημόνων, εφευρετών και καλλιτεχνών.
Προβολή περιεχομένου εγγράφου
Λωρίδα ή μονοπάτι Mobius χωρίς αρχή και τέλος. »
Ταινία Möbius
Εργάστηκε στο έργο
Μαθητής της 8ης τάξης
Γυμνάσιο MBOU №10 σ.Kamensky
Σοροκίνα Αρίνα
Επικεφαλής: Kaleniuk N.V.
καθηγητής μαθηματικών
Το έργο έγινε από:
μαθητές της 8ης τάξης
Δημιουργός ταινίας Möbius
August Ferdinand Möbius
( 17.11.1790-26.09.1868 )
Γερμανός μαθηματικός
και θεωρητικός αστρονόμος.
Τι είναι μια ταινία Möbius;
Η λωρίδα Möbius είναι μια τρισδιάστατη επιφάνεια με μία μόνο πλευρά και ένα όριο, η οποία έχει τη μαθηματική ιδιότητα του μη προσανατολισμού.
Η λωρίδα Mobius, ως πρότυπο του σύμπαντος
Τέχνη και τεχνολογία
Στη Μόσχα, στο Komsomolsky Prospekt κοντά στον κινηματογράφο "Ορίζοντας" ένα μνημείο
“ λωρίδα Möbius».
- Η ταινία μεταφορικής ταινίας είναι κατασκευασμένη σε μορφή ιμάντα Möbius, η οποία της επιτρέπει να λειτουργεί περισσότερο, επειδή ολόκληρη η επιφάνεια της ταινίας φθείρεται ομοιόμορφα.
Πολλοί πιστεύουν ότι η λωρίδα Möbius είναι ο πρόγονος του συμβόλου του απείρου. Ωστόσο, σύμφωνα με τις διαθέσιμες ιστορικές πληροφορίες, το σύμβολο του άπειρου άρχισε να χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει το άπειρο δύο αιώνες πριν από την ανακάλυψη της λωρίδας Möbius.
Λωρίδα Möbius και σημάδι απείρου
- Ω κασέτα! Μας είσαι ένα μάθημα!
- Η μαγνητική ταινία επιμηκύνει τον όρο,
- Κάνεις την άνοιξη να λειτουργεί για το μέλλον,
- Και ο ιμάντας ταχυτήτων, το τιμόνι και ο εκτυπωτής
- Χρησιμοποιώντας την παντοδύναμη αρχή σας.
- Ωστόσο, αν βιαστείτε στο μονοπάτι,
- Θα είναι σωστό να χαθείς εδώ,
- Αφού στο jumper της ταινίας που
- Δεν υπάρχει καθόλου ζωντανή ύλη.
- Έτσι μας έρχεται ο θάνατος.
- Όταν η μοίρα τελειώνει την ιστορία
- Γλιστράει μακριά κατά μήκος της λωρίδας Möbius
- Και μας παίρνει μαζί του στο δρόμο.
Το Τρίγωνο των Βερμούδων εξηγεί επίσης την κασέτα
- Πού χάνονται γρήγορα τα πλοία εκεί.
Μόλις βρεθείτε στην πύλη μεταξύ διαφορετικών κόσμων,
Δυστυχώς, μας χωρίζουν για πάντα.
Και οι αστροναύτες που περιπλανιούνται κατά μήκος αυτής της κορδέλας
Και στο διάστημα οι απρόσκλητοι περνούν τη νύχτα,
Θα επιστρέψουν στο σπίτι με μια διαφορετική μορφή -
Η αντανάκλαση του καθρέφτη σας.
- Η λωρίδα Mobius στρίβει το μονοπάτι
- όποια κατεύθυνση κι αν πας...
- Σίγουρα θα δείτε περισσότερα
- Που κάποτε συνάντησε στο δρόμο...
- Αν χρειαστεί να προλάβεις κάποιον
- μην σπαταλάς χρόνο και ενέργεια...
- Είναι καλύτερα απλώς να περιμένετε ή
- κινηθείτε προς τα πίσω
Περιγραφή εμπειρίας
Αποτέλεσμα
Έκοψα ένα απλό δαχτυλίδι στη μέση.
Έλαβα δύο απλούς κρίκους, ίδιου μήκους, διπλάσιο πλάτος, με δύο περιθώρια.
Λωρίδα Mobius κομμένη στη μέση.
Έλαβα 1 δαχτυλίδι, του οποίου το μήκος είναι διπλάσιο, το πλάτος δύο φορές πιο στενό, στριμμένο 1 πλήρη στροφή, με ένα περίγραμμα.
Έλαβα δύο δαχτυλίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους: 1) λωρίδα Mobius - μήκος = μήκος του πρωτοτύπου, πλάτος 4 cm. 2) πλάτος 1 cm, μήκος διπλάσιο από το αρχικό, στριμμένο κατά δύο πλήρεις στροφές, με δύο περιθώρια.
Μια λωρίδα Mobius πλάτους 5 cm κόπηκε κατά μήκος σε απόσταση 2 cm από την άκρη.
Έλαβα δύο δαχτυλίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους: 1) το δαχτυλίδι είναι μια λωρίδα Möbius πλάτους 3 cm, μήκος = μήκος του αρχικού. 2) δακτύλιος - πλάτος 2 cm, διπλάσιο από το αρχικό στριμμένο μία προς δύο πλήρεις στροφές, με δύο περιθώρια.
Λωρίδα Mobius πλάτους 5 cm, κομμένη κατά μήκος σε απόσταση 3 cm, από την άκρη.
Έλαβα δύο δαχτυλίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους: 1) το δαχτυλίδι είναι μια λωρίδα Mobius πλάτους 2 cm και το ίδιο μήκος. 2) ένας δακτύλιος - πλάτος 3 cm, το μήκος του είναι διπλάσιο από το αρχικό, στριμμένο από δύο πλήρεις στροφές.
Λωρίδα Möbius πλάτους 5 cm. κόψτε κατά μήκος σε απόσταση 4 cm, από την άκρη.
Έλαβα δύο δαχτυλίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους: 1) ένα δαχτυλίδι - μια λωρίδα Mobius μήκους 1 cm = το μήκος του αρχικού. 2) ένα δαχτυλίδι πλάτους 4 cm, διπλάσιο από το αρχικό μήκος, στριμμένο δύο ολόκληρες στροφές, με δύο περιθώρια.
Και στις δύο πλευρές της χαρτοταινίας, σχεδίασα δύο διακεκομμένες γραμμές, σε ίση απόσταση μεταξύ τους, κόλλησα τη λωρίδα Möbius, κομμένη κατά μήκος των διακεκομμένων γραμμών.
Έλαβα δύο δαχτυλίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους: 1) το δαχτυλίδι είναι διπλάσιο από το αρχικό, το πλάτος είναι τρεις φορές μικρότερο. πρωτότυπο, δύο φορές στριμμένο? 2) δακτύλιος - Μήκος λωρίδας Möbius = μήκος του πρωτοτύπου, πλάτος τρεις φορές μικρότερο από το πρωτότυπο, με δύο περιθώρια.
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Η λωρίδα Mobius
Η λωρίδα Möbius είναι μια από τις «μαθηματικές εκπλήξεις». Λένε ότι μια υπηρέτρια βοήθησε τον Möbius να ανοίξει το «φύλλό» του, ράβοντας λανθασμένα τις άκρες της κορδέλας μεταξύ τους. Όπως και να έχει, αλλά το 1858 ο καθηγητής της Λειψίας August Ferdinand Möbius (1790-1868), μαθητής του C. F. Gauss, αστρονόμου και γεωμέτρη, έστειλε μια εργασία στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού που περιλάμβανε πληροφορίες για αυτό το φύλλο. Επί επτά χρόνια περίμενε να εξεταστεί το έργο του και, χωρίς να περιμένει, δημοσίευσε τα αποτελέσματά του. Ταυτόχρονα με τον Möbius, ένας άλλος μαθητής του K. F. Gauss, ο Johann Benedict Listing (1808-1882), καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Göttingham, επινόησε αυτό το φύλλο. Δημοσίευσε το έργο του τρία χρόνια νωρίτερα από τον Möbius - το 1862
Τι χτύπησε αυτούς τους δύο Γερμανούς καθηγητές; Και το γεγονός ότι η λωρίδα Möbius έχει μόνο μια πλευρά. Έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι κάθε επιφάνεια που ασχολούμαστε έχει δύο όψεις. Δεν είναι δύσκολο να βεβαιωθείτε ότι η λωρίδα Möbius είναι μονόπλευρη: αρχίστε να τη χρωματίζετε σταδιακά σε κάποιο χρώμα, ξεκινώντας από οποιοδήποτε σημείο, και στο τέλος της εργασίας, θα διαπιστώσετε ότι είναι εντελώς χρωματισμένη.
Η δεύτερη έκπληξη μας περιμένει τη στιγμή που θα προσπαθήσουμε να κόψουμε τη λωρίδα Möbius κατά μήκος της μεσαίας γραμμής της. Σε αυτή την περίπτωση, ο "κανονικός" δακτύλιος θα διασπούσε σε δύο κομμάτια και η λωρίδα Möbius θα μετατρεπόταν σε έναν στριμμένο δακτύλιο.
Οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων που δεν αλλάζουν κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς μελετώνται από τη μαθηματική επιστήμη - τοπολογία. Είναι περίεργο ότι αυτό το όνομα της δόθηκε από τον Johann Listing. Η ιδιότητα της μονής όψης της λωρίδας Möbius χρησιμοποιήθηκε στην τεχνολογία: εάν ο ιμάντας είναι κατασκευασμένος με τη μορφή λωρίδας Möbius για κίνηση ιμάντα, τότε η επιφάνειά του θα φθαρεί δύο φορές πιο αργά από αυτή ενός συμβατικού δακτυλίου. Αυτό παρέχει απτή εξοικονόμηση πόρων. Φυσικά, η κύρια αξία της λωρίδας Möbius είναι ότι έδωσε ώθηση σε νέα εκτεταμένη μαθηματική έρευνα. Γι' αυτό συχνά θεωρείται σύμβολο των σύγχρονων μαθηματικών και απεικονίζεται σε διάφορα εμβλήματα και εμβλήματα.
Η λωρίδα Möbius έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Εάν προσπαθήσετε να κόψετε την κορδέλα στη μέση, κόβοντάς την στη μέση κατά μήκος μιας γραμμής παράλληλης προς την άκρη, τότε αντί για δύο κορδέλες θα πάρετε μια μακριά κορδέλα με δύο μισές στροφές (όχι μια κορδέλα Möbius). Αν τώρα αυτή η ταινία κοπεί στη μέση, τότε τυλίγονται δύο ταινίες η μία πάνω στην άλλη. Εάν κόψετε τη λωρίδα Möbius, υποχωρώντας από την άκρη κατά περίπου το ένα τρίτο του πλάτους της, τότε θα έχετε δύο λωρίδες, μία - περισσότερες λεπτή ταινία Möbius, το άλλο είναι μια μακριά λωρίδα με δύο μισές στροφές (όχι μια λωρίδα Möbius). Άλλοι ενδιαφέροντες συνδυασμοί συγκροτημάτων μπορούν να ληφθούν από μπάντες Möbius με δύο ή περισσότερες μισές στροφές σε αυτές. Για παράδειγμα, αν κόψετε μια κορδέλα με τρεις μισές στροφές, θα έχετε μια κορδέλα τυλιγμένη σε κόμπο τριφύλλου. Ένα τμήμα της λωρίδας Möbius με επιπλέον στροφές δίνει απροσδόκητες φιγούρες που ονομάζονται δακτύλιοι παραδρόμου.
Η λωρίδα Möbius χρησίμευσε ως έμπνευση για γλυπτά και για γραφικές τέχνες. Ο Maurits Escher ήταν ένας από τους καλλιτέχνες που του άρεσε ιδιαίτερα και αφιέρωσε αρκετές από τις λιθογραφίες του σε αυτό το μαθηματικό αντικείμενο. Ένα διάσημο είναι η λωρίδα Möbius II, που δείχνει τα μυρμήγκια να σέρνονται στην επιφάνεια της λωρίδας Möbius.
Υπήρχαν τεχνικές εφαρμογές της λωρίδας Möbius. Η ταινία μεταφορικής ταινίας κατασκευάστηκε σε μορφή ιμάντα Möbius, η οποία της επέτρεπε να λειτουργεί περισσότερο, επειδή ολόκληρη η επιφάνεια της ταινίας φθείρονταν ομοιόμορφα. Επίσης σε συστήματα συνεχούς εγγραφής κασετών χρησιμοποιήθηκαν ταινίες Möbius (για να διπλασιαστεί ο χρόνος εγγραφής).
Μια συσκευή που ονομάζεται αντίσταση Möbius είναι ένα νέο ηλεκτρονικό στοιχείο που δεν έχει δική του αυτεπαγωγή. Ο Νίκολα Τέσλα κατοχύρωσε μια παρόμοια συσκευή στις αρχές του 1900, με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας US#512.340. Το πηνίο για ηλεκτρομαγνήτες προοριζόταν για χρήση σε ένα σύστημα παγκόσμιας μετάδοσης ηλεκτρικής ενέργειας χωρίς καλώδια.
Η ταινία Möbius επαναλαμβάνεται επίσης στην επιστημονική φαντασία, όπως στην ιστορία του Arthur C. Clarke The Wall of Darkness. Μερικές φορές ιστορίες επιστημονικής φαντασίας υποδηλώνουν ότι το σύμπαν μας μπορεί να είναι ένα είδος γενικευμένης λωρίδας Möbius. Στο διήγημα του A.J. Deitch "Möbius Strip", το μετρό της Βοστώνης κατασκευάζει μια νέα γραμμή της οποίας η διαδρομή γίνεται τόσο συγκεχυμένη που γίνεται λωρίδα Möbius και τα τρένα αρχίζουν να εξαφανίζονται στη γραμμή.
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Λωρίδα Möbius στη ζωή γύρω μας
Μνημείο στη λωρίδα Möbius στη Μόσχα
διαφάνεια 1
Η εκπληκτική λωρίδα Möbius
1
διαφάνεια 2
Πρόλογος
Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν τι είναι μια λωρίδα (φύλλο) Möbius. Για όσους δεν είναι ακόμα εξοικειωμένοι με το καταπληκτικό φύλλο, που αναφέρεται σε «μαθηματικές εκπλήξεις», προτείνω να κάνετε έρευνα μαζί και να βουτήξετε σε μια φωτεινή αίσθηση γνώσης.
2
διαφάνεια 3
Η μυστηριώδης και διάσημη λωρίδα Möbius (μερικές φορές λένε: η λωρίδα Möbius) επινοήθηκε το 1858. Γερμανός γεωμέτρης August Ferdinand Möbius (1790-1868), μαθητής του «βασιλιά των μαθηματικών» Γκάους. Ο Möbius ήταν αρχικά αστρονόμος, όπως ο Gauss και πολλοί άλλοι στους οποίους τα μαθηματικά οφείλουν την ανάπτυξή τους. Εκείνες τις μέρες, τα μαθηματικά δεν υποστηρίζονταν και η αστρονομία έδινε αρκετά χρήματα για να μην τα σκεφτεί κανείς και άφηνε χρόνο για τους δικούς του προβληματισμούς. Και ο Möbius έγινε ένας από τους μεγαλύτερους γεωμέτρους του 19ου αιώνα. Σε ηλικία 68 ετών κατάφερε να κάνει μια ανακάλυψη εκπληκτικής ομορφιάς. Αυτή είναι η ανακάλυψη μονόπλευρων επιφανειών, μία από τις οποίες είναι η λωρίδα Möbius.
3
διαφάνεια 4
Η λωρίδα Möbius είναι ένα από τα αντικείμενα στον τομέα των μαθηματικών που ονομάζεται "τοπολογία" (με άλλα λόγια - "γεωμετρία θέσεων"). Οι εκπληκτικές ιδιότητες της λωρίδας Möbius - έχει μια άκρη, μια πλευρά - δεν σχετίζονται με τη θέση της στο χώρο, με τις έννοιες της απόστασης, της γωνίας, και παρόλα αυτά έχουν έναν εντελώς γεωμετρικό χαρακτήρα. Η τοπολογία είναι η μελέτη τέτοιων ιδιοτήτων. Στον Ευκλείδειο χώρο, υπάρχουν δύο τύποι λωρίδων Möbius ανάλογα με την κατεύθυνση της συστροφής: δεξιά και αριστερά.
4
διαφάνεια 5
Λένε ότι μια υπηρέτρια βοήθησε τον Möbius να ανοίξει το «φύλλό» του, ράβοντας λανθασμένα τις άκρες της κορδέλας μεταξύ τους.
Θρύλος
5
διαφάνεια 6
Συναρπαστική εξερεύνηση
Φυλάξτε μερικά φύλλα από απλό λευκό χαρτί, κόλλα και ψαλίδι.
6
Διαφάνεια 7
Παίρνουμε χαρτοταινία ABCD. Στερεώστε τα άκρα του ΑΒ και CD μεταξύ τους και κολλήστε. Όχι όμως τυχαία, αλλά έτσι ώστε το σημείο Α να συμπίπτει με το σημείο Δ και το σημείο Β με το σημείο Γ.
ΕΝΑ
ΣΕ
ΜΕ
ρε
7
Διαφάνεια 8
Παίρνουμε ένα τέτοιο στριμμένο δαχτυλίδι
8
Διαφάνεια 9
?
Ας αναρωτηθούμε: πόσες πλευρές έχει αυτό το κομμάτι χαρτί; Δύο, όπως κάθε άλλο; Και τίποτα τέτοιο. Έχει ΜΙΑ πλευρά. Δεν πιστεύεις; Εάν θέλετε - ελέγξτε: δοκιμάστε να βάψετε αυτό το δαχτυλίδι στη μία πλευρά.
9
Διαφάνεια 10
Βάφουμε, δεν ξεκολλάμε, δεν περνάμε στην άλλη πλευρά. Ζωγραφίζουμε ... Βαμμένο πάνω; Και πού είναι η άλλη, καθαρή πλευρά; Οχι? Λοιπόν, κάτι.
10
διαφάνεια 11
Τώρα η δεύτερη ερώτηση. Τι θα συμβεί αν κόψετε ένα κανονικό φύλλο χαρτιού; Φυσικά, δύο συνηθισμένα φύλλα χαρτιού. Πιο συγκεκριμένα, δύο μισά του φύλλου. Και τι θα συμβεί αν κόψετε αυτό το δαχτυλίδι στη μέση (αυτή είναι η λωρίδα Möbius ή η λωρίδα Möbius) σε όλο το μήκος; Δύο δαχτυλίδια μισού πλάτους; Και τίποτα τέτοιο. Και τι? Δεν θα πω. Κόψτε τον εαυτό σας.
?
11
διαφάνεια 12
Και να τι μου συνέβη
Η ταινία στρίβεται δύο φορές.
12
διαφάνεια 13
Τώρα φτιάξτε μια νέα λωρίδα Möbius και πείτε μου τι θα συμβεί αν την κόψετε κατά μήκος, αλλά όχι στη μέση, αλλά πιο κοντά στη μία άκρη; Το ίδιο? Και τίποτα τέτοιο!
?
13
Διαφάνεια 14
Και να τι μου συνέβη
14
διαφάνεια 15
Τι θα λέγατε για τρία μέρη; Τρεις κορδέλες; Και τίποτα τέτοιο!