Уравнения энергии. Курс лекций Общее уравнение энергии

Изменение потенциальной энергии уровня g(z 1 -z 2 ) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м 2 /сек 2 , тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м 2 /сек 2 . Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z 1 -z 2 ) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z 1 -z 2 ) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму . Преобразуем сумму членов

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 = (C v T 1 +p 1 /ρ 1) -(C v T 2 +p 2 /ρ 2)=

=(C v T 1 +RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R)(T 1 -Т 2) = C p (T 1 -Т 2) ,

используя известное из термодинамики соотношение C p –C v =R , и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0, (2.4)

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C р Т . («Три в одном»!)

(2.5)

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания , так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное - отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, - положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие - отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным , в охладителе - отрицательным ; работа , получаемая в турбине , - положительной , а затрачиваемая на вращение компрессора - отрицательной . Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики .

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме . Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины . Тогда в пределе получим вместо Q е и L соответственно dQ е и dL , авместо конечных разностейТ 1 –Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 получим соответствующие дифференциалы –dТ и – d(w 2 /2) .

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T 1 -Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 , а не T 2 -Т 1 и (w 2 2 - w 1 2)/2 .

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные , получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии

(2.6)

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,

с левой частью уравнения Бернулли , которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 + gz = const,

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое , так и тепловое (калорическое) происхождение.

Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа . От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение . Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде :

(2.7)

Количество тепла Q , воспринимаемое газом , и количество теплаQ е , подводимое к нему извне , в общем случае не одинаковы : существует еще теплота тренияQ r , которая выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом . Поэтому

Q = Q е + Q r = Q е + L r . (2.8)

dQ е = dQ – dL r , (2.9)

где L r - работа трения (в системе единиц СИ Q r =L r ).

Количество тепла, воспринимаемое газом , можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики

dQ = C v dT + pdv. (2.10)

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0. (2.13)

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

(2.14)

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ) , надо знать зависимость между р и ρ , т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p/ρ n =const . Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает

при изотермном процессе (n=1 )

1 2 ∫(dp/ρ)=(p 1 /ρ 1)ℓn(p 2 /p 1)=RT 1 ℓn(p 2 /p 1). (2.16)

Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли , например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т 2 .

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ) , а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n .

Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа .

Адиабатное ( или адиабатическое ) течение . Такое течение происходит без внешнего подвода или отвода тепла , т.е. Q е =0 . Относительно внутреннего теплоподвода (тепла трения Q r ) никаких оговорок не делается, т.е. оно либо присутствует, либо равно нулю. Уравнение энергии в этом случае имеет вид:

(2.17)

а уравнение Бернулли сохраняет форму (2.14)

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L+ L r =0.

Уравнение (2.17) имеет большое значение в экспериментальной практике. Им пользуются, например, при экспериментальном определении работы турбины или компрессора, когда непосредственное определение мощности по крутящему моменту и числу оборотов затруднительно по техническим причинам. Для этого необходимо только измерить температуры и скорости газа на входе в машину и выходе из нее и произвести вычисление по формуле (2.17). Заметим, что практически дело обстоит еще проще. Измеряются не температуры газа и скорости раздельно, а температуры торможения .

Энергоизолированное течение . Такое течение происходит без внешнего теплообмена (Q е =0 ) и без подвода или отвода внешней механической работы (L=0 ), т.е. без обмена энергией с внешней средой на участке между входным и выходным сечением. Уравнение энергии для энергоизолированного течения записывается так:

(2.18)

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2. (2.19)

Смысл последнего равенства состоит в том, что при энергоизолированном течении полный запас энергии единицы массы газа остается неизменным, так как на расчетном участке энергия извне не подводится и не отводится во внешнюю среду.

Уравнение Бернулли для этого вида течения приобретает вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L r =0. (2.20)

Моделью энергоизолированного потока пользуются при расчете диффузоров, неохлаждаемых сопел и других неподвижных каналов, в которых теплообмен с внешней средой пренебрежимо мал.

Изоэнтропное (или изоэнтропийное или изоэнтропическое ) течение . Такое течение происходит при постоянной энтропии S=соnst . Для постоянства энтропии необходимо выдержать условие Q=0 . Из формулы (2.8) следует, что это может быть при Q е =0,Q r =0 или при Q е = – Q r . Второй случай предусматривает теплоотвод во внешнюю среду, в точности равный теплоподводу от трения. Такой точный тепловой баланс редко может встречаться в практике, а потому здесь не рассматривается. Таким образом, можно считать, что течение будет изоэнтропным в том случае, если отсутствует трение и внешний теплообмен . Для этого вида течения уравнение энергии записывается так же, как и для адиабатного течения (см. формулу (2.17))

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,

а уравнение Бернулли имеет вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L=0. (2.21)

При вычислении интеграла здесь нужно иметь в виду, что р и ρ связаны уравнением изоэнтропы p/ρ k =const . Моделью изоэнтропного потока пользуются при теоретических расчетах и исследованиях идеальных компрессоров и турбин.

Энергоизолированное изоэнтропное течение . Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0 ) и без трения (Lr=Qr=0 ). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности ) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2,

а уравнение Бернулли записывается так:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 =0. (2.22)

Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы . Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения .

В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:

C p dT + d(w 2 /2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w 2 /2) = 0. (2.24)

Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения . Интегрируя уравнение (2.24), имеем

∫(dp/ρ) + w 2 /2 = const.

Используя уравнение изоэнтропы

p/ρ k = B = const,

и следующие очевидные соотношения

ρ k = (p/B); ρ = (p/B) 1/ k ; B 1/ k = (p/ρ k) 1/ k =p 1/ k /ρ;

найдем значение интеграла

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=

= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k /ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

и, подставив его в предыдущее уравнение, получим

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. (2.25)

Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 = const,

то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1 . Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости .

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a 2 = kRT= kp/ρ , и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:

a/(k-1) + w 2 /2 = const. (2.26)

Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике .

G p/ρ k =const. p/ρ = RT. a= √kRT. a 2 = kRT= kp/ρ.

Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz.

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L= 0.

C v dT + d(p/ρ) + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

C p dT + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0.

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. a/(k-1) + w 2 /2 = const.

p/ρ + w 2 /2 = const.

Баланс энергии можно составить для любой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в газодина­ми­ческих задачах.

Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.

Берется неопределенный интеграл.

Уравнение энергии может быть записано в тепловой форме (через энтальпию газа) и в механической форме (через давление газа). Рассмотрим сначала уравнение энергии в тепловой форме для потока массы 1кг/с между двумя произвольными сечениями I и II в условиях обмена работой и теплотой с окружающей (внешней) средой. Условимся внешние работу и теплоту, подводимые к рабочей среде, считать положительным, а отводимые – отрицательными. Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии установившегося потока массы газа (в пренебрежении изменением потенциальной энергии положения) должно быть равно сумме работы и теплоты, подведённых извне. Изменение энергии газа на элементарном пути ds складывается из изменения кинетической энергии и изменения энтальпий dh. Соответственно уравнение энергии в дифференциальной форме для турбодетандера имеет вид . В интегральной форме для участка I-II уравнение энергии в тепловой форме для турбодетандера получаем в виде . Здесь – изменения энтальпии и кинетической энергии потока массы газа; – внешняя работа, отведённая через вал от потока; – внешняя теплота, подведённая на участке I-II. Все члены уравнения имеют смысл удельных энергий и размерность джоуль на килограмм, так как характеризуют энергию потока газа 1кг/с. Приток теплоты к потоку массы в общем случае осуществляется двумя путями – извне в количестве и в результате диссипации энергии, т.е. превращения в теплоту работы трения, в количестве . Так что . Уравнение энергии в тепловой форме отражает только внешний поток теплоты, поскольку предполагается, что диссипированная энергия в виде теплоты полностью воспринимается потоком массы. Энергетический уровень потока массы в произвольном сечении рассматриваемого участка удобно характеризовать полной энтальпией, т.е. энтальпией заторможенного потока . Переходя к полным энтальпиям, придадим уравнению энергии следующий вид (уменьшение энтальпии при расширении ). Для адиабатных условий получаем . Из последнего уравнения следует, что в адиабатных условиях изменение энергетического уровня потока массы возможно только в результате обмена работой с внешней средой. При . Полученное уравнение энергии полезно несколько преобразовать, введя в него изоэнтропные разности энтальпий вместо действительных . В связи с этим введём величину , чтобы записать тождество для турбодетандера. Таким образом, есть разность энтальпий в конце действительного и изоэнтропийного процессов расширения газа при давлении в конце рассматриваемого процесса. В общем случае изменение энтальпии на величину является результатом теплообмена с окружающей средой и диссипации энергии . Поэтому . Диссипация энергии и подвод теплоты ведёт к увеличению энтальпии . В адиабатных процессах величина характеризует необратимость процесса, или потери. Как будет показано ниже, в адиабатных процессах, протекающих в турбомашинах, при изменении давления до конечного, т.е. при , выражение и является потерей холода. Используя равенство , можно придать уравнениям энергии несколько иной вид. Для турбодетандеров и его элементов (в условиях подвода теплоты) , где .

Уравнение энергии в механической форме. Запишем уравнение первого закона термодинамики в следующем виде (имея в виду, что ) . Интегрируя это уравнение от до , получаем . Используя это уравнение, следует помнить, что при подводе внешней теплоты к турбодетандеру . Выше было показано, что для идеального газа есть политропная работа расширения потока газа, которая обычно определяется по среднему значению показателя политропы. Диссипированная энергия включает все потери на рассматриваемом участке потока массы. Представляют интерес уравнения, получающиеся при сравнении уравнений энергии в тепловой и в механической формах. Из сравнения этих уравнений получаем следующее обобщенное уравнение Бернулли для расширительной машины, переходя к положительным значениям внешней и политропной работ и изменяя соответственно пределы интегрирования при определении политропной работы, получаем . Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем – в турбомашинах политропная работа расширения потока массы газа равна сумме внешней работы, диссипированной энергии (компенсация потерь) и уменьшению кинетической энергии.

15. Типы рабочих колёс турбодетандера. Уравнение сохранения энергии для рабочего колеса с выходным диффузором турбодетандера.

Уравнение баланса энергии в интегральной форме может быть получено из первого закона термодинамики и имеет вид

где первое слагаемое в скобках – кинетическая энергия движения жидкости, второе – потенциальная энергия положения, третье – энтальпия жидкости, Дж/кг;

Е п – полная энергия в контрольном объеме, Дж;

q – тепловой поток через контрольную поверхность, Вт;

l s – мощность на преодоление внешних сил, в основном трения, Вт;

u – скорость потока, м/с;

r – плотность среды, кг/м 3 ;

x – угол между нормалью и контрольной поверхностью;

g – ускорение силы тяжести, м/с 2 ;

z – геометрический напор, м;

h – удельная энтальпия, Дж/кг;

S – контрольная поверхность;

t – время, с.

Для химических процессов кинетическая и потенциальная энергии, а также мощность на преодоление внешних сил пренебрежимо малы по сравнению с энтальпией, поэтому можно записать

Это уравнение, по сути, является уравнением теплового баланса.

Для простого контрольного объема, ограниченного контрольными поверхностями, перпендикулярными вектору потока жидкости, интегрирование последнего уравнения дает

Первые два слагаемых в этом уравнении получены следующим образом. Если принять плотность постоянной, а cos(x )=±1, то

тогда

Так как W =rūS , то получаем

Если скорость незначительно меняется в обоих сечениях, а поток жидкости стационарен в гидродинамическом отношении, то уравнение баланса тепла можно записать следующим образом

Если система стационарна и в тепловом отношении, то:

Если в системе не происходит фазовых превращений и химических реакций, то можно от энтальпий перейти к теплоемкостям и тогда

Рассмотрим пример применения уравнений теплового баланса в нестационарных условиях.

Пример 9.1. Два резервуара объемом по 3 м 3 каждый заполнены водой при температуре 25 °С. Оба имеют мешалки, обеспечивающие практически полное перемешивание. В определенный момент времени в первый резервуар начинают подавать 9000 кг/ч воды при температуре 90 °С. Вода, выходящая из первого резервуара, поступает во второй. Определить температуру воды во втором резервуаре через 0,5 часа после начала подачи горячей воды. Резервуары считать теплоизолированными.

Рис. 9.1. К примеру 9.1

Решение: Составим схему тепловых потоков (рис. 9.1) и тепловой баланс для первого резервуара. При отсутствии теплообмена q =0 и при условиях

уравнение теплового баланса примет вид

откуда 9000(90-T 1 )d t=3·1000dT 1 , или

После интегрирования от 0 до t и от 25 °С до T 1 получим

T 1 =90-65exp(-3t).

Составим аналогичным образом тепловой баланс второй емкости

Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): . Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим

Поскольку , то

.

В соответствии с уравнением неразрывности , поэтому

.

Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м 3 , описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.

Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид

Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:

1. Идеальный газ: , где - постоянная Больцмана, n - концентрация частиц в газе, M - масса частицы.

2. Несжимаемая жидкость:

3. Вода при высоких давлениях , где , - давление и плотность при нормальных условиях.

Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем

,

где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия . Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа в уравнение энергии получим

,

, ,

где и - постоянные. Последнему равенству можно придать вид , где - показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий . В результате уравнение адиабаты получит вид